数学 #

Hash 哈希 #

散列思想，也被称为哈希（Hash）思想，是一种将任意长度的输入（也称为预映射，pre-image），通过散列算法，变换成固定长度的输出，该输出就是散列值。这种转换是一种压缩映射，也就是，散列值的空间通常远小于输入的空间。

通俗地说，你可以把散列思想想象成一个巨大的仓库（散列表），而每个物品（输入值）都有一个唯一的存储位置（散列值）。当你需要找到一个物品时，你不需要逐个检查仓库中的每个位置，而是直接通过物品的唯一标识（散列值）找到它的位置，这样大大提高了查找效率。

学习和掌握哈希的方法：

1. 理解哈希的基本概念：包括哈希函数、哈希表、哈希冲突等。
2. 学习和理解常见的哈希算法：如MD5、SHA系列等。
3. 通过实践来提高理解：可以尝试自己编写哈希函数，或者在实际的项目中使用哈希来解决问题。
4. 理解哈希在数据结构和算法中的应用：哈希在很多数据结构和算法中都有应用，如哈希表、布隆过滤器等。
5. 阅读相关的书籍和资料：有很多关于哈希的优秀书籍和在线资料，可以帮助你更深入地理解哈希。

哈希函数可以将任意长度的输入转换为固定长度的输出，这是因为哈希函数的设计原则之一就是“压缩性”。这意味着无论输入的数据有多长，哈希函数都能生成一个固定长度的哈希值。

你可以将哈希函数想象成一个特殊的榨汁机。无论你放入多少水果（输入数据），这台榨汁机都能榨出一杯固定容量的果汁（哈希值）。这就是哈希函数的“压缩性”。

至于哈希值的长度是否有最大限制，这取决于具体的哈希算法。例如，MD5算法生成的哈希值总是128位，SHA-1算法生成的哈希值总是160位，SHA-256算法生成的哈希值总是256位。

哈希函数的底层实现通常涉及到复杂的数学和计算机科学理论，包括位操作、模运算、异或运算等。

一，数学基础 #

数学学习科目：

• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 复变函数
• 数值计算
• 优化理论
• 信息论

1.1 向量和矩阵 #

标量（scalar）

1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系 #

标量（scalar）是数学中的一个概念，与向量相对。可以理解为只有大小，没有方向的量。如果做一个类比，可以将其比作一个数值或者一个简单的数值型数据，比如温度就是一个标量，因为有温度值，但没有方向

向量(Vector)是一个数学概念，表示具有大小和方向的量。可以类比为物理中的箭头，箭头有方向，同时箭头的长度代表其大小。在数学中，向量可以用来表示空间中的点或者是有方向的线段。

矩阵
​矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如$A$。

张量
在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 来表示张量“A”。张量$A$中坐标为$(i,j,k)$的元素记作$A_{(i,j,k)}$。

四者之间的关系

标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例： ​标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。 ​向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。 ​张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少

1.1.2 张量与矩阵的区别 #

张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数
而非线性关系则是不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变

1.2 导数和偏导数 #

导数和偏导数都是微积分中的概念，用于描述函数在某点上的变化率，他们主要区别在于被求导函数的类型和自变量的个数

一个经典的使用导数解决实际问题的例子是最速降线问题，也称为布鲁诺的问题。  
这个问题涉及到光在两个介质边界的折射现象。

设有一点 AA 在空气中，点 BB 在水面下方某一深度处。我们需要确定光线从点 A射入水中，经过哪个路径才能到达点 BB 的时间最短。

首先，我们知道光在不同介质中传播速度不同。根据斯涅尔定律，在两个介质之间的折射光线遵循下列关系：

sin⁡(θ1)sin⁡(θ2)=v1v2
sin(θ2​)sin(θ1​)​=v2​v1​​

其中，θ1θ1​ 是入射角，θ2θ2​ 是折射角，v1v1​ 和 v2v2​ 分别是光在空气和水中的速度。

我们需要找到使得光线从 AA 到 BB 所需时间最短的路径。我们可以将问题建模为最小时间函数 T=T(θ1)T=T(θ1​) 关于入射角 θ1θ1​ 的优化问题。根据光程理论，可以得到以下关系式：

T(θ1)=L1v1cos⁡(θ1)+L2v2cos⁡(θ2)
T(θ1​)=v1​cos(θ1​)L1​​+v2​cos(θ2​)L2​​

其中，L1L1​ 是光在空气中的传播距离，L2L2​ 是光在水中的传播距离。由于 L1L1​ 和 L2L2​ 与 θ1θ1​ 相关，我们可以使用导数来找到最小时间路径。

为求解最速降线问题，我们需要求解最小时间函数 T(θ1)T(θ1​) 的最小值点。通过对 T(θ1)T(θ1​) 求导数并令其等于零，我们可以得到最优解所对应的入射角 θ1∗θ1∗​。

具体地，我们对 T(θ1)T(θ1​) 进行求导得到：

dTdθ1=−L1v1sin⁡(θ1)(v1cos⁡(θ1))2+L2v2sin⁡(θ2)(v2cos⁡(θ2))2=0
dθ1​dT​=−(v1​cos(θ1​))2L1​v1​sin(θ1​)​+(v2​cos(θ2​))2L2​v2​sin(θ2​)​=0

化简上述方程，可得：

sin⁡(θ1∗)v1=sin⁡(θ2∗)v2      
v1​sin(θ1∗​)​=v2​sin(θ2∗​)​    

这个结果与斯涅尔定律相吻合，说明光线经过使得最小时间路径的折射角满足斯涅尔定律。   


这个例子展示了如何使用导数来解决实际问题。通过建模函数，求解导数并令其为零，我们可以找到最小值点或最优解。      
在最速降线问题中，我们使用导数找到了光线的最短时间路径，并验证了斯涅尔定律。这个过程体现了理论知识与实际问题的结合和应用。

1.3 特征值和特征向量 #